Поступив в этом году на контракт, возможно ли в следующем году участвовать в конкурсе на бюджет в том же вузе по той же специальности?
Легко!) Но это будет поступление на первый курс! 
1 Вподобання
Если это фиксированное предложение - возможно всякое.
Но если вам уже выставили рекомендацию на бюджет в кабинете, как они его собираются - официально - отменять?
Мало деталей
Если не было официальной рекомендации на бюджет в кабинете или хотя бы в списках ЕДЕБО, а был только голос в телефоне - тогда, действительно вы ни на какой бюджет (еще) не проходили.
Такая она, взрослая жизнь: без подтверждающих документов многое может оказаться (само)обманом… Всегда требуйте гарантий или подтверждения любой важной для вас информации! Тогда будет, что предъявить.